- Algèbre de Boole
L'algèbre de boole est un mode de calculs visant la simplification des opérations booléennes, c'est à dire les conditions.
Par exemple il apparait évident que si j'ai cette condition: If (A AND B) OR A je peut la simplifier en If A OR B
On peut facilement le démontrer à l'aide d'une table de vérité.
Distributivité du OR et du AND. Le OR et le AND sont distributifs.
Exemple pour le OR: A OR (B AND C) = (A OR B) AND (A OR C)
Exemple pour le AND: A AND (B OR C) = (A AND B) OR (A AND C)
Factorisation du OR et du AND. Le OR et le AND peuvent se factoriser.
Exemple pour le OR: (A OR B) AND (A OR C) = A OR (B AND C)
Exemple pour le AND: (A AND B) OR (A AND C) = A AND (B OR C)
Situations simplifiables par logique.
A OR NOT(A) = 1
A AND NOT(A) = 0
A OR 1 = 1
A AND 0 = 0
A OR 0 = A
A AND 1 = A
Théorème de Morgan
NOT(A OR B) = NOT(A) AND NOT(B)
NOT(A AND B) = NOT(A) OR NOT(B)
Après quelques applications de ces theorèmes, on aboutit à des situations plus simples.
Simplifications courantes (pour aller plus vite et éviter de distribuer à chaque fois):
A OR (A AND B) = A OR B
A AND (A OR B) = A OR B
A OR (NOT(A) AND B) = A OR B
A AND (NOT(A) OR B) = A AND B
Petit test à présent, simplifiez ça: (NOT(A) AND ((NOT(D) AND C) OR (NOT(C) AND B) OR B OR D) AND ((NOT(C) AND B) OR A OR C)) OR (NOT(B) AND A)
Pour ceux que ces calculs ont enthousiasmé, sachez que le OR s'écrit en réalité + le AND s'écrit . et le non ("non a" par exemple) s'écrit avec une barre au dessus de la variable comme cela: a. Le AND est prioritaire sur le OR.
Ainsi, sur papier, on aurait put écrire l'équation d'au dessus ainsi: a.(d.c + c.b + b + d).(c.b + a + c) + b.a
Il existe de mulitiples outils pour simplifier les énormes équations, notamment les tableaux de Karnaugh, mais ce n'est pas le sujet du cours. Faites Sciences de l'Ingénieur en Première S et vous le saurez (ou alors regardez sur wikipédia) !
Solution de l'équation:
(NOT(A) AND B) OR (NOT(B) AND A) = A XOR B
et écrit en plus joli: a.b + b.a le ou exclusif avec cette écriture est un + entouré.
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